Question

（2010•淄博一模）定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），当x＞1时f（x）单调递增，如果x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能为0

D．可正可负

Answer 1

分析：先由抽象表达式f（-x））=-f（x+2），推出函数的对称中心为（1，0），再由当x＞1时f（x）单调递增和函数的对称性，可知函数f（x）在R上单调递增且f（1）=0，最后分析x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-l）＜0，说明x₁、x₂一个大于1，一个小于1，且大于1的数距离1较远，由函数的单调性和对称性可知f（x₁）+f（x₂）恒大于零

解答：解：∵f（-x））=-f（x+2），∴函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
∵x＞1时f（x）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增且f（1）=0
∵x₁+x₂＞2，∴（x₁-1）+（x₂-l）＞0
∵（x₁-1）（x₂-l）＜0
∴不妨设x₁＜x₂，则x₁＜1，x₂＞1，且|x₂-l|＞|x₁-1|
由函数的对称性，∴f（x₁）+f（x₂）＞0
故选B

点评：本题考察了函数的对称性和函数的单调性的综合应用，熟练的将已知代数条件转化为几何条件是解决本题的关键