题目内容

以椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ______．
椭圆的右焦点F（c，0），右准线为 x=
a2
c
，圆的半径为 c，A，B两点的横坐标为 
a2
c
，
∵△OAB是正三角形，由FA=FB，及∠AFB=120°，构造直角三角形，利用边角关系得
cos60°=
1
2
=
a2
c
-c
c
，∴
c2
a2
=
2
3
  
c
a
=
6
3
，
故答案为：
6
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在椭圆上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
OA
•
OB
=λ，且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时，求弦长|AB|的取值范围．
设F1，F2是椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞1)的两个焦点，点P是该椭圆上的动点，若∠F1PF2的最大值为
π
2
．
（1）求该椭圆的方程；  
（2）求以该椭圆的长轴AB为一底，另一底CD的两端点也在椭圆上的梯形ABCD的最大面积．
（2004•黄埔区一模）以椭圆
x2a2
+y2=1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．
（1）若动点P到定点F(2
2
，0)的距离与到定直线l：x=
9
2
4
的距离之比为
2
2
3
，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆
x2
a2
+y2=1（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．
已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，
2
2
）在椭圆上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
OA
•
OB
=λ，且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时，求弦长|AB|的取值范围．

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