题目内容
（1）若动点P到定点F(2
，0)的距离与到定直线l：x=
的距离之比为
，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆
+y2=1（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．
| 2 |
9
| ||
| 4 |
2
| ||
| 3 |
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆
| x2 |
| a2 |
分析：（1）假设动点P坐标，利用条件，建立等式，化简可判断动点P的轨迹；
（2）根据条件可知，AB，AC应是关于y轴对称，将直线方程与椭圆方程联立，从而可求AC长，故可求面积；
（3）与（2）同法，将直线方程与椭圆方程联立，求AB，AC的长，利用|AB|=|AC|可判断．
（2）根据条件可知，AB，AC应是关于y轴对称，将直线方程与椭圆方程联立，从而可求AC长，故可求面积；
（3）与（2）同法，将直线方程与椭圆方程联立，求AB，AC的长，利用|AB|=|AC|可判断．
解答：解：（1）由题意，设动点P（x，y），则
=
，化简得
+y2=1，
∴动点P的轨迹是椭圆（4分）
（2）A（0，1），设AB：y=x+1，AC：y=-x+1，则△ABC是等腰直角三角形
由
得，5x2+9x=0∴|AC|=
|xC-xA|=
∴S△ABC=
|AC|2=
---------（10分）
（3）不妨设lAB：y=kx+1（k＞0），lAC：y=-
x+1
由
得，（1+a2k2）x2+2ka2x=0∴|AB|=
|xA-xB|=
•
同理可得|AC|=
•
=
•
由|AB|=|AC|得，k3-a2k2+a2k-1=0即（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0∴k=1或k2+（1-a2）k+1=0
所以当a＞
时，存在三个等腰直角三角形；
当1＜a≤
时，存在一个等腰直角三角形．-------------------------------------（16分）
| ||||
|x-
|
2
| ||
| 3 |
| x2 |
| 9 |
∴动点P的轨迹是椭圆（4分）
（2）A（0，1），设AB：y=x+1，AC：y=-x+1，则△ABC是等腰直角三角形
由
|
| 1+1 |
9
| ||
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 81 |
| 25 |
（3）不妨设lAB：y=kx+1（k＞0），lAC：y=-
| 1 |
| k |
由
|
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| 2ka2 |
| 1+a2k2 |
同理可得|AC|=
1+
|
| ||
1+
|
| 1+k2 |
| 2a2 |
| k2+a2 |
由|AB|=|AC|得，k3-a2k2+a2k-1=0即（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0∴k=1或k2+（1-a2）k+1=0
所以当a＞
| 3 |
当1＜a≤
| 3 |
点评：本题主要考查轨迹与轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
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的距离与到定直线
的距离之比为
，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．