题目内容

下列四个命题：
①m=
2
是两直线2x+my十1=0与mx+y-1=0平行的充分必要条件；②直线y=kx与圆（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1恒有公共点．③当x＞0且x≠1时，lgx+
1
lgx
≥2；④一椭圆内切于长为6，宽为2的矩形，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 8.16．正确命题的序号为
 
 （写出所有正确命题的序号）
分析：①把m=
2
代入两方程，根据两直线平行的条件得到两直线平行；而当两直线平行时，根据两直线平行时所满足的条件得到m=±
2
，进而得到本选项为假命题；
②观察圆的方程发现，此圆为圆心为原点的单位圆，而直线为过原点的直线，所以两者横有公共点，本选项为真命题；
③当x大于0小于1时，lgx小于0，利用基本不等式得到lgx+
1
lgx
的最小值为-2，本选项为假命题；
④根据模拟方法来估算黄豆数的概率，利用实验得到的频率估算出概率，然后根据面积之比等于概率之比，即可求出椭圆的面积为8.16，本命题为真命题．
解答：解：①把m=
2
，代入得：
两直线方程为2x+
2
y十1=0与
2
x+y-1=0，
由
2
2
=
2
1
，-1≠1，得到两直线平行；
而两直线平行时，由两直线2x+my十1=0与mx+y-1=0，
得到
2
m
=
m
1
，即m2=2，解得m=
2
或m=-
2
，
所以m=
2
是两直线2x+my十1=0与mx+y-1=0平行的充分不必要条件，本选项为假命题；
②由圆的方程得到圆心坐标为（cosθ，sinθ），半径r=1，
得到此圆是圆心在原点的单位圆，而y=kx为过原点的直线，故直线与圆横有公共点，本选项为真命题；
③当x＞0且x≠1时，得到lgx＜0或lgx＞0，
当lgx＜0时，lgx+
1
lgx
=-[（-lgx）+（-
1
lgx
）]≥-2，本命题为假命题；
④由题意可得：
S椭圆
S矩形
=P黄豆落在椭圆内，
即S椭圆=
300-96
300
×12=8.16，本命题为真命题．
综上，正确命题的序号为②④．
故答案为：②④
点评：此题考查学生掌握两直线平行时满足的条件，掌握直线与圆的位置关系的判别方法，理解利用基本不等式的条件，掌握利用模拟方法来估算概率，是一道中档题．
练习册系列答案
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7、已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β?m⊥n；②α⊥β?m∥n；③m⊥n?α∥β；④m∥n?α⊥β，其中真命题的序号是
①，④
．
已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①
m⊥α
n⊥α
?m∥n；②
m⊥α
m⊥n
?n∥α；③
m∥α
n∥α
?m∥n；④
m⊥α
n∥α
?m⊥n．
其中正确命题的序号是（　　）
A、①②B、②④C、②③D、①④
17、已知 l，m，n是互不相同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：
①m?α，l∩α=A，点A∉m，则 l与 m 是异面直线；
②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
③l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β
其中是真命题的是
①、③、④
（请写出所有正确答案的序号）
已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； 
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； 
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题的序号是（　　）

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