Question

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； 
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； 
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题的序号是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：①分别取直线m、n的方向向量即为平面α、β法向量，而二者垂直，所以二平面亦垂直；
②举出以下反例：m⊥β时亦满足条件，但此时平面α与β却相交；
③同②可举出反例；
④可由m⊥α，α∥β，得出m⊥β，再由线面平行的性质定理及n∥β可知，在平面β内有无数条直线与直线n平行，可得m与这些直线垂直，即可判断出答案．

解答：解：如图所示，①∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，∴平面α、β的法向量垂直，∴可得出二平面的平面角为直角，则α⊥β，故①正确； 
②若m⊥β时亦满足条件，但是α与β相交，即α与β不一定平行，因此②不正确；
③同②可举出反例，∴③不正确；
④∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β．∵n∥β，由线面平行的性质定理可知，在平面β内有无数条直线与直线n平行，
可得m与这些直线垂直，从而m与n垂直．
综合以上可知：①④正确．
故选C．

点评：理解线面、面面平行与垂直的判断定理和性质定理是解题的关键．