Question

设两非零向量e₁和e₂不共线.

(1)如果=e₁+e₂,=2e₁+8e₂,=3(e₁-e₂),求证：A、B、D三点共线;

(2)试确定实数k,使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线.

Answer 1

思路分析：要证明A、B、D三点共线,需证存在λ,使=λ(e₁+e₂)即可.而若ke₁+e₂和e₁+ke₂共线,则一定存在λ,使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂).

(1)证明：∵=e₁+e₂,=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂=5(e₁+e₂)=5,

∴、共线.又有公共点B,

∴A、B、C三点共线.

(2)解：∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共线,

∴存在λ,使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂),

则(k-λ)e₁=(λk-1)e₂.

由于e₁与e₂不共线,

只能有k-λ=0,λk-1=0.

则k=±1.

方法归纳 本题是两个向量共线的充要条件的应用,只需根据以其中某一点为起点,以另外两点为终点的向量a、b共线,存在实数λ使得a=λb(b≠0),然后利用待定系数法确定参数值.

深化升华 由平面向量共线定理可以得到以下两条常用的性质：(1)设e₁、e₂是两个不共线的向量,若me₁+ne₂=se₁+te₂(m、n、s、t为实数),则有(2)设e₁、e₂是两个不共线的向量,若me₁=ne₂,则有m=n=0.