题目内容
设两非零向量e1和e2不共线．（1）如果
| AB |
| BC |
| CD |
（2）试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线；
（3）若|e1|=2，|e2|=3，e1与e2的夹角为60°，试确定k的值，使ke1+e2与e1+ke2垂直．
分析：（1）先证明
∥
，再根据有公共点原理，证明三点共线
（2）ke1+e2和e1+ke2共线，运用实数λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2），即可求出
（3）运用向量数量积公式计算：由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，解出K的值
| AB |
| AD |
（2）ke1+e2和e1+ke2共线，运用实数λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2），即可求出
（3）运用向量数量积公式计算：由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，解出K的值
解答：解：（1）证明：
=
+
+
=6（e1+e2）=6
，
∴
∥
，
与
有公共点A．
∴A、B、D三点共线．
（2）∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），
即（k-λ）e1+（1-λk）e2=0．
∵e1与e2为非零不共线向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．
（3）由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，
k|e1|2+（k2+1）e1•e2+k|e2|2=0，得
k×22+（k2+1）×2×3×cos60°+k×32=0
?4k+3k2+3+9k=0?3k2+13k+3=0，
∴k=
．
| AD |
| AB |
| BC |
| CD |
| AB |
∴
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
∴A、B、D三点共线．
（2）∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），
即（k-λ）e1+（1-λk）e2=0．
∵e1与e2为非零不共线向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．
（3）由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，
k|e1|2+（k2+1）e1•e2+k|e2|2=0，得
k×22+（k2+1）×2×3×cos60°+k×32=0
?4k+3k2+3+9k=0?3k2+13k+3=0，
∴k=
-13±
| ||
| 6 |
点评：此题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题
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＝
+ 
,
＝2 
＝3(
=e1+e2,
=2e1+8e2,
=3(e1,-e2),求证：A、B、D三点共线；
=e1+e2,
=2e1+8e2,
=3(e1-e2),求证：A、B、D三点共线;
=e1+e2，
=2e1+8e2，
=3（e1-e2），求证：A、B、D三点共线；