Question

（2014•长宁区一模）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则ab=

10.5²

．

Answer 1

分析：根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a-10）²+（b-10）²最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．

解答：解：由总体的中位数为10.5，则a+b=21，
∴平均数为

2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20

10

=10，
要使总体方差最小，
即（a-10）²+（b-10）²最小．
又∵（a-10）²+（b-10）²=（21-b-10）²+（b-10）²
=（11-b）²+（b-10）²=2b²-42b+221，
∴当b=10.5时，（a-10）²+（b-10）²取得最小值．
又∵a+b=21，
∴a=10.5，b=10.5，即ab=10.5²．
故答案为：10.5²．

点评：本题考查一组数据的方差的应用，考查一组数据的中位数的应用，本题不是求数据的方差和中位数，而是以方差和中位数为条件，求解数据中的未知量．属于中档题．