Question

设a为实数，记函数f(x)＝a＋＋的最大值为g(a)．

(1)设t＝＋，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

(2)求g(a)；

(3)试求满足g(a)＝g()的所有实数a．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵t＝， 　　∴要使t有意义，必须1＋x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1． 　　∵t2＝2＋2∈[2，4]，且t≥0，① 　　∴t的取值范围是[，2]． 　　由①得＝t2－1， 　　∴m(t)＝a(t2－1)＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]． 　　(2)由题意知g(a)即为函数m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值． 　　∵直线t＝是抛物线m(t)＝at2＋t－a的对称轴， 　　∴可分以下几种情况进行讨论： 　　(i)当a＞0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 　　由t＝＜0知m(t)在t∈[，2]上单调递增，故g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　(ii)当a＝0时，m(t)＝t，t∈[，2]，有g(a)＝2． 　　(iii)当a＜0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， 　　若t＝∈(0，]，即a≤时，g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(，2]，即a∈(，]时，g(a)＝m()＝－aa． 　　若t＝－∈(2，＋∞)，即a∈(，0)时，g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　综上所述，有g(a)＝ 　　(3)当a＞时，g(a)＝a＋2＞＞； 　　当＜a≤时，－a∈[，)，－a∈(，1]，∴－a≠， 　　g(a)＝－a＞＝．故当a＞时，g(a)＞． 　　当a＞0时，＞0，由g(a)＝g()知a＋2＝＋2，故a＝1． 　　当a＜0时，a·＝1，故a≤－1或≤－1，从而有g(a)＝或g()＝． 　　要使g(a)＝g()，必须有a≤，≤，即－≤a≤． 　　此时，g(a)＝＝g()． 　　综上所述，满足g(a)＝g()的所有实数a为－≤a≤或a＝1．