题目内容

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC₁的长是________．

$\text{[math]}$
分析：设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，由题意建立方程组，三式相加可得结论．
解答：设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，则 $\text{[math]}$
三式相加可得x²+y²+z²= $\text{[math]}$
∴长方体对角线AC₁的长是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查长方体对角线的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求点D到平面A₁BC₁的距离．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁A=a，BC=

a，M是AD中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：A₁、M、C、N四点共面；
（2）求证：BD₁⊥MCNA₁；
（3）求证：平面A₁MNC⊥平面A₁BD₁；
（4）求A₁B与平面A₁MCN所成的角．

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=4，AA₁=5 则三棱锥A₁-ABC的体积为（　　）

如图，已知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积．