Question

已知向量

m

=(-1，cosωx+

3

sinωx)，

n

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且

m

⊥

n

，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为

3

2

π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(

3

2

α+

π

2

)=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(π+2α)

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积，而二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简数量积为sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，利用周期求出ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(

3

2

α+

π

2

)=

23

26

，化简方程为cosα=

5

13

，求出sinα=

12

13

，利用两角和的正弦函数，诱导公式化简

sin(α+ π 4 )

cos(π+2α)

并求出它的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=0，
所以，f(x)=cosωx•(cosωx+

3

sinωx)=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω=

1

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

所以f(

3

2

α+

π

2

)=sin(α+

π

2

)+

1

2

=cosα+

1

2

=

23

26

解得cosα=

5

13

因为α是第一象限角，故sinα=

12

13

所以

sin(α+ π 4 )

cos(π+2α)

=

sin(α+ π 4 )

-cos2α

=

2

-2(cosα-sinα)

=

13

14

2

点评：本题是基础题，考查向量的数量积的运算，三角函数的化简与求值，二倍角公式两角和的正弦函数公式的应用，为解题设置了障碍，细心解答．