题目内容

已知向量
m
=(-1，sinx)，
n
=(-2，cosx)，函数f(x)=2
m
•
n
．
（1）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值；
（2）若△ABC的角A、B所对的边分别为a、b，f(
A
2
)=
24
5
，f(
B
2
+
π
4
)=
64
13
，a+b=11，求a的值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=
m
•
n
=4+sin2x，由x∈[0，
π
2
]，根据正弦函数的定义域和值域求得sin2x的范围，即可求得函数f（x）的值域．
（2）由f(
A
2
)=
24
5
求得sinA的值；由f(
B
2
+
π
4
)=
64
13
，求得sin(B+
π
2
)的值，从而求得cosB和sinB的值，再由正弦定理得
a
b
=
sinA
sinB
=
52
25
，求得a的值．
解答：解：（1）依题意，f（x）=
m
•
n
=2（2+sinxcosx）=4+sin2x…（3分），
由x∈[0，
π
2
]，可得2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]，…（4分），
所以，函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值为5．…（5分）
（2）由f(
A
2
)=
24
5
得sinA=
4
5
．…（6分），
由f(
B
2
+
π
4
)=
64
13
，得sin(B+
π
2
)=
12
13
…（7分），从而cosB=
12
13
…（8分），
因为0＜B＜π，所以sinB=
5
13
…（9分），
由正弦定理得
a
b
=
sinA
sinB
=
52
25
…（11分），所以，
a
a+b
=
52
77
，a=
52
7
…（12分）．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π，且
m
•
n
=-1，又A、B、C为△ABC的三个内角，且B=
π
3
，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量
n
；
（Ⅱ）若向量
n
与向量
q
=(1，0)的夹角为
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，试求|
n
+
p
|的取值范围．
已知向量
m
=(λ+1，1)，
n
=(λ+2，2)，若（
m
+
n
)⊥(
m
-
n
)⊥(
m
-
n
)，则λ=
-3
-3
．
已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，且f（x）图象上一个最高点为P(
π
12
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
π
2
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(
π
3
-B)=1，求f（A）的取值范围．
已知向量
m
=(-1，
3
)，
n
=(cosx，sinx)，f(x)=
m
•
n
，
（1）求f（x）的表达式及最小正周期；
（2）若sinθ=
4
5
，0＜θ＜
π
2
，求f（θ）的值．

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