Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且

3

a=2csinA
（Ⅰ）求∠C
（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由C的度数求出sinC与cosC的值，利用余弦定理列出a与b的关系式，将已知a+b=ab两边平方，整理得到另一个关系式，联立两式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理有：

3

sinA=2sinAsinC，即sinC=

3

2

，
∵在锐角△ABC中，∠C为锐角，
则∠C=

π

3

；
（Ⅱ）∵sinC=

3

2

，cosC=

1

2

，c=2，a+b=ab，
∴由余弦定理及已知条件得c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4…①，
由a+b=ab平方可，化简得：a²+b²=（ab）²-2ab…②，
联立①②可得ab=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．