Question

18、甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形如图：

若将频率视为概率，回答下列问题：
（Ⅰ）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分
布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根据直方图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，先求出甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率，再利用对立事件的关系求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率，
（2）ξ的可能取值是0，1，2．只要求出ξ的取值分别为0，1，2时的概率即得其分布列，再由分布列利用数学期望公式求解ξ数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设事件A表示甲运动员射击一次，恰好击中9环以上（含9环），则P（A）=0.35+0.45=0.8..（3分）
甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为P₀=（1-0.8）³=0.008．（5分）
所以甲运动员射击3次，至少有1次击中9环以上的概率为P=1-0.008=0.992．（6分）
（Ⅱ）记乙运动员射击1次，击中9环以上为事件B，则P（B）=1-0.1-0.15=0.75（8分）
由已知ξ的可能取值是0，1，2．（9分）
P（ξ=2）=0.8×0.75=0.6；P（ξ=0）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；P（ξ=1）=1-0.05-0.6=0.35．
ξ的分布列为（12分）
所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55
故所求数学期望为1.55．（13分）

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和离散型随机变量的期望与方差；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．