Question

10．已知x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$图象的一条对称轴．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），求出a的值，得出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间；
（2）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（asinx+cosx）cosx-$\frac{1}{2}$
=asinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$asin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，
且x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，
所以f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2（$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{3}$），
解得a=$\sqrt{3}$，
所以f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
即函数f（x）的增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z； …（5分）
（2）列表如下，

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象如图所示．…（10分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了五点法画正弦函数图象的应用问题，是基础题目．