Question

18．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{5}{n}$的最小值为（　　）

• A． $1+\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． 2
• D． $\frac{11}{4}$

Answer 1

分析 由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．

解答 解：∵正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，
∴${a_1}{q^6}={a_1}{q^5}+2{a_1}{q^4}$，
整理，得q²-q-2=0，又q＞0，解得，q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，
∴${a_1}^2{q^{m+n-2}}=16{a_1}^2$，
整理，得2^m+n-2=16，即m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{5}{n}=\frac{1}{6}（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{5}{n}）=\frac{1}{6}（6+\frac{n}{m}+\frac{5m}{n}）≥1+\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{5m}{n}$取等号，但此时m，n∉N^*．又m+n=6，
所以只有当m=2，n=4时，取得最小值是$\frac{7}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．