Question

设G、M分别是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且

GM

=λ

AB

，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且

OP

-

OQ

=0？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设C（x，y），则G（

X

3

，

Y

3

），由题意知M（

X

3

，0），再由M为△ABC的外心，可求出点C的轨迹方程．
（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），由

y=k(x-a) x2 3a2 + y2 a2 =1，(x≠0)

得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后由根与系数的关系可以推出存在直线m，其方程为y=±

3

（x-a）．

解答：解：（1）设C（x，y），则G（

X

3

，

Y

3

），
因为

GM

=λ

AB

，所以GM∥AB，则M（

X

3

，0）
由M为△ABC的外心，则|MA|=|MC|，即

( x 3 )2+a2

=

( x 3 -x)2+y2

，
整理得：

x2

3a2

+

y2

a2

=1(x≠0)；（5分）
（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），
由

y=k(x-a) x2 3a2 + y2 a2 =1，(x≠0)

得：（1+3k²）x²+6k²ax+3a²（k²-1）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2a

1+3k2

，x1x2=

3a2(k2-1)

1+3k2

，
y1y2=k2(x1-a) (x2-a) =-

2k2a2

1+3k2

，
由

OP

-

OQ

=0得：x₁x₂+y₁y₂=0，
即

3a2(k2-1)

1+3k2

+

-2k2a2

1+3k2

=0，解之得k=±

3

，
又点（a，0）在椭圆的内部，直线m过点（a，0），
故存在直线m，其方程为y=±

3

（x-a）．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要注意求轨迹方程的技巧．