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精英家教网如图，设E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ．
求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ．
分析：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，根据三角形面积公式可表示出△PF1F2的面积，由余弦定理可求得r1r2的表达式，进而求得S与b和tanθ的关系式，原式得证．
解答：证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
则S=
1
2
r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有
（2c）2=r12+r22-2r1r2cos2θ=（r1+r2）2-2r1r2-2r1r2cos2θ=（2a）2-2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2-4c2=4b2．
所以r1r2=
2b2
1+cos2θ
．
这样即有S=
1
2
•
2b2
1+cos2θ
sin2θ=b2
2sinθcosθ
2cos2θ
=b2tanθ．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=
1
2
r1r2sin2θ．若能消去r1r2，问题即获解决．
练习册系列答案
相关题目
（2012•福建）如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
 =1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=
1
2
．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（2013•浙江模拟）如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围．
如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
|CD|
|ST|
=2
6
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
PE
•
PF
的最大值．
（2012•上高县模拟）如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

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