Question

10．函数y=（x-4）|x|在[a，4]上的最小值为-4，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{2-2\sqrt{2}，2}]$
• B． （-∞，2]
• C． $[{2-2\sqrt{2}，2}）$
• D． $（{2-2\sqrt{2}，2}）$

Answer 1

分析 先作出函数y=（x-2）|x|在a≤x≤2上的图象，结合函数图象，欲使函数y=（x-2）|x|在a≤x≤2上的最小值为-1，则x_A≤a≤x_B，从而求出所求

解答 解：y=（x-4）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-4x，x≥0\\-{x}^{2}+4x，x＜0\end{array}\right.$，
作出函数y=（x-2）|x|在a≤x≤4上的图象，

令（x-4）|x|=-4，
当x≥0时，x²-4x=-4，解得x_B=2，
当x＜0时，-x²+4x=-4，解得x_A=2-2$\sqrt{2}$，
结合函数图象，欲使函数y=（x-4）|x|在[a，4]上的最小值为-4，则x_A≤a≤x_B，
即实数a的取值范围为$[{2-2\sqrt{2}，2}]$，
故选：A

点评 本题主要考查了分段函数的应用，以及函数最值的应用，同时考查了作图的能力和数形结合的思想，属于中档题．