Question

【题目】如图，四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是边长为2的正三角形．

（Ⅰ）当AD为多长时，？

（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣D为时，求AD的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得：BD⊥平面AOC，即可得出．

（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．利用等腰直角三角形与正三角形的性质可得BC⊥平面ADF．经过D点作DE⊥AF，垂足为E，可得DE⊥平面ABC．假设作EC′⊥AC，垂足为C′．设DE＝x，EF＝y．可得x2+y2＝DF2＝3，x＝，解得x＝，y＝1．可得点C′与点C重合．可得：∠DCE为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出.

（Ⅰ）取BD中点O，连接AO，CO，

∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，

△BCD是边长为2的正三角形．

∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，

∴CO⊥BD，

当AC⊥BD时，由，得平面AOC，

∵平面AOC，∴，

∴AD=AB=，

∴当AD为时，．

（Ⅱ）如图所示，取BC的中点F，连接DF．

∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，

△BCD是边长为2的正三角形．

∴．又．．

∴平面ADF．

经过D点作，垂足为E，则DE⊥平面ABC．

假设作EC′⊥AC，垂足为C′．

设DE=x，EF=y．

则，，

解得．

∴，因此点C′与点C重合．

可得为二面角B﹣AC﹣D的平面角，所以，

∴．