Question

已知点P（a，b）（a＞b＞0）与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点F₁，F₂构成等腰三角形，则椭圆的离心率e=

1

2

．

Answer 1

分析：作出椭圆和点P如图，可得△PF₁F₂中∠PF₂F₁为钝角，所以若△PF₁F₂是等腰三角形，必定PF₂=F₁F₂=2c，根据两点的距离公式建立关于a、b、c的方程，解之得a=2c，由此可得椭圆的离心率．

解答：解：∵椭圆的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=

a2-b2

  
又∵点P（a，b）与焦点F₁，F₂构成等腰三角形，
∴PF₂=F₁F₂=2c，根据两点的距离公式得：

(a-c)2+b2

=2c
两边平方，得（a-c）²+b²=4c²，即（a-c）²+a²-c²=4c²
∴2a²-2ac-4c²=0，即a²-ac-2c²=0，可得（a+c）（a-2c）=0
∵a＞c＞0，∴a+c＞0，a=2c，椭圆的离心率为e=

c

a

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题给出点P（a，b）与椭圆的两个焦点构成等腰三角形，欲求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质，属于基础题．