Question

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打局：
（1）列出随机变量的分布列；
（2）求的期望值E．

Answer 1

（1）

ξ	2	4	6
P

（2）

解析试题分析：（1）先列出随机变量所有可能值，为2，4，6.再分别讨论三种情况下，两者输赢情况,需全面考虑，不能遗漏,如时，甲可以全赢，也可全输，不能一赢一输；时，前两局必是甲一赢一输；而后两局必是某人全赢；时，可利用概率和为，求其“补集”即可；也可直接计算，此时需要注意前四局分布情况是：前两局必是甲一赢一输；接下来的两局也必是甲一赢一输，但最后的两局却没有限制；（2）利用期望值计算公式Eξ＝2×＋4×＋6×＝
试题解析：解法1：
（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝.     4分
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有
，           7分
∴ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P

   9分
（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.                12分
解法2：（1）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则k表示乙在第k局比赛中获胜.
由独立性与互斥性得
＝P(A1A2)＋P()＝，                         2分
＝P()＋P()＋P()＋P()
＝2[()3()＋()3()]＝，                   4分
＝P()＋P()＋P()＋P()
＝4()2()2＝，                              7分
∴ξ的分布列为