题目内容

已知O为△ABC所在平面外一点，且 $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ ，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 表示 $数学公式$ ．

解：由 $\text{[math]}$ 平面OBC?OA⊥BC，连AH并延长并BC于M．
则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH?OH⊥BC、
同理可证： $\text{[math]}$ 平面ABC、
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数k₁，k₂，k₃使得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 、
由 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ?k₂=k₃，同理k₁=k₂．
∴k₁=k₂=k₃=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴ $\text{[math]}$ =0?k₁（k₁-1） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0②
联立①及②，得 $\text{[math]}$ ③
又由①，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入③得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
其中△= $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）
分析：利用线面垂直的判断定理得到OA⊥面OBC，OH⊥平面ABC，得到线线垂；利用平面向量基本定理设出 $\text{[math]}$ ，利用向量垂直的充要条件列出方程组求出K₁，K₂K₃，求出 $\text{[math]}$
点评：本题考查线面垂直的判断定理、线面垂直的性质、平面向量基本定理、向量垂直的充要条件．