Question

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)

（Ⅰ）设，求证：当时，；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以 

故函数的解析式为       …………………3分

证明：当且

时，，设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

  又因为，所以当时，，此时单调递减，所以

所以当时，即       ……………………6分

（Ⅱ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．

所以，解得（舍去）

（ⅳ）当时，则

当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３

【解析】（Ⅰ）,设,证明，（Ⅱ）的最小值是3，讨论a的值对函数最小值的影响。