Question

14．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}$（a∈R）．
（1）若f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）讨论函数f（x）在区间[1，e²]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；
（2）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（3）对a讨论，当a＜0时，当a=0时，当a＞0时，判断f（x）的单调性，结合零点存在定理，即可判断零点个数．

解答 解：（1）由题可知f（x）的定义域为（0，+∞），
因为$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}$，所以$f'（x）=\frac{1}{x}-ax$=$\frac{{1-a{x^2}}}{x}$，
可得切线的斜率为$\frac{1-4a}{2}$，
又因为切线与直线2x+y+2=0垂直，
直线2x+y+2=0的斜率为-2，
可得（-2）×$\frac{1-4a}{2}$=-1，解得a=0；
（2）由（1）知：$f'（x）=\frac{1}{x}-ax$=$\frac{{1-a{x^2}}}{x}$，x＞0，
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＞0得$x＜\sqrt{\frac{1}{a}}$，由f'（x）＜0得$x＞\sqrt{\frac{1}{a}}$，
所以f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$上单调递增，在$（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$上单调递减．
综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$上单调递增，在$（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$上单调递减；
（3）由（2）可知，
当a＜0时，f（x）在[1，e²]上单调递增，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$a＞0，故f（x）在[1，e²]上没有零点；
当a=0时，f（x）在[1，e²]上单调递增，
而f（1）=-$\frac{1}{2}$a=0，故f（x）在[1，e²]上有一个零点；
当a＞0时，①若$\sqrt{\frac{1}{a}}≤1$，即a≥1时，f（x）在[1，e²]上单调递减，
∵$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，∴f（x）在[1，e²]上没有零点；
②若$1＜\sqrt{\frac{1}{a}}≤{e^2}$，即$\frac{1}{e^4}＜a＜1$时，f（x）在$[{1，\sqrt{\frac{1}{a}}}]$上单调递增，
在$[{\sqrt{\frac{1}{a}}，{e^2}}]$上单调递减，而$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-\frac{1}{2}$，$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}$，
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}＜0$，即$a＞\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上没有零点；
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}=0$，即$a=\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有一个零点；
若$f（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）=-\frac{1}{2}lna-$$\frac{1}{2}＞0$，即$a＜\frac{1}{e}$时，由$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}＞0$得$a＜\frac{4}{e^4}$，
此时，f（x）在[1，e²]上有一个零点；
由$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}≤0$得$a≥\frac{4}{e^4}$，此时，f（x）在[1，e²]上有两个零点；
③若$\sqrt{\frac{1}{a}}≥{e^2}$，即$0＜a≤\frac{1}{e^4}$时，f（x）在[1，e²]上单调递增，
∵$f（1）=-\frac{1}{2}a＜0$，$f（{e^2}）=2-\frac{1}{2}a{e^4}＞0$，∴f（x）在[1，e²]上有一个零点．
综上所述：当$0≤a＜\frac{4}{e^4}$或$a=\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有一个零点；
当a＜0或$a＞\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上没有零点；
当$\frac{4}{e^4}≤a＜\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e²]上有两个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查函数的零点个数问题的解法，注意运用导数判断单调性，以及分类讨论的思想方法，正确分类是解题的关键，属于难题．