Question

海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°西B处，俯角60°．
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变，它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？

Answer 1

分析：①在△OAB先根据OA和∠OBA求得OB，再在△OBC中根据余弦定理求得BC，进而求得根据上午11时和11时10分的时间差及路程BC，可求得船速．
②在△OBC通过余弦定理求得cos∠OBC，在△EBO中进而根据sin∠EBO=sin∠OBC，求得sin∠EBO，进而求得sin∠OBE，再由正弦定理求得OE和BE，再由①中的速度求得时间．

解答：解：①如图：所示．OB=OAtan30°=

3

3

（千米），OC=

3

（千米）
则BC=

OB2+OC2-2OB•OCcos120°

=

13 3

（千米）
∴船速v=

13 3

÷

10

60

=2

39

（千米/小时）
②由余弦定理得：cos∠OBC=

OB2+BC2-OC2

2OB×BC

=

5 13

26

，
∴sin∠EBO=sin∠OBC=

1-( 5 13 26 )2

=

3 39

26

，cos∠EBO=-

5 13

26

，sin∠OEB=sin[180°-（∠EBO+30°）]=sin(∠EBO+30°)=sin∠EBO×cos30°+cos∠EBO×sin30°=

13

13

．
再由正弦定理，得OE=1.5（千米），BE=

39

6

(千米)，

BE

v

=5（分钟）．
答：船的速度为2

39

千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E离岛1.5千米．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用．这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉．