题目内容

已知向量 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当 $数学公式$ 时，函数 $数学公式$ 的最大值为3，最小值为0，试求a、b的值．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x-f（x）=0，∴f（x）= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
同理求得函数的减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由于 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
①若a＞0，则g_max（x）=a+b， $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 得a=2，b=1…（10分）
②若a＜0，则 $\text{[math]}$ ，g_min（x）=a+b，
由 $\text{[math]}$ 得a=-2，b=2．…（12分）
综上得，a=2，b=1，或a=-2，b=2．
分析：（1）根据两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质以及三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，
可得函数的增区间，同理求得函数的减区间．
（2）由于 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，分a＞0和a＜0两种情况，分别根据函数的最值求出a、b的值，从而得出结论．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域、单调性，属于中档题．