Question

飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6 km,C在B的北偏东30°,相距4 km,P为航天员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C两地比A距P远,因此4 s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1 km/s.

(1)求A、C两个救援中心的距离;

(2)求在A处发现P的方向角.

Answer 1

解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),C(5,23),则|AC|=km=2 km,则A、C两个救援中心的距离为2 km.

(2)∵|PC|=|PB|,∴P在BC线段的垂直平分线上.

又∵|PB|-|PA|=4,∴P在以A、B为焦点的双曲线的左支上且|AB|=6.

∴双曲线方程为-=1(x＜0),BC的垂直平分线的方程为x+3y-7=0,联立两方程解得x=-8,

∴P(-8,5),k_PA=tan∠PAB=-.

∴∠PAB=120°.∴P点在A点的北偏西30°处.

点评:实际问题有明显的几何意义,可以考虑用解析法建立适当的坐标系,构造曲线方程,利用曲线的性质来求解.