Question

（本题满分14分）给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于M、N两
点，求弦MN的长；
（3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.

Answer 1

解：（1）因为，所以，所以椭圆的方程为，
伴随圆的方程为.                        ……………………………… 4分
（2）设直线的方程，由得 
由得，圆心到直线的距离为 
所以。                    ……………………………… 8分
（3）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与伴随圆交于点
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是(或，即为(或，显然直线垂直；    
同理可证方程为时，直线垂直.          ……………………………… 10分
②当都有斜率时，设点其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
由，消去得到，
即， ，
经过化简得到：，
因为，所以有，
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以是关于的方程：的两个实数根，
因而，即⊥.                         ……………………………… 14分

略