Question

(本小题满分14分)椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=，过点C(－1，0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.
(1)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;
(2)当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.

Answer 1

（1）S_△OAB= (k≠0).；（2）x²+3y²=5.                    

解：(1)设椭圆E的方程为=1(a＞b＞0)，由e=.
∴a²=3b²，故椭圆方程x²+3y²=3b².                                  2分
设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由于点C(－1，0)分有向线段的比为2，

①②

∴，即

由消去y整理并化简，得(3k²+1)x²+6k²x+3k²－3b²=0.    4分
由直线l与椭圆E相交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)?两点，?

③ ④ ⑤

∴

而S_△OAB=|y₁－y₂|=|－2y₂－y₂|
=|y₂|=|k(x₂+1)|= |k||x₂+1|.              ⑥
由①④得:x₂+1=－，代入⑥得：
S_△OAB= (k≠0).                       8分
(2)因S_△OAB==≤=，
当且仅当k=±，S_△OAB取得最大值.
此时x₁+x₂=－1，又∵=－1，
∴x₁=1，x₂=－2.
将x₁，x₂及k²=代入⑤得3b²=5.
∴椭圆方程x²+3y²=5.                                                                                      14分