Question

在我国西部某一地区，有四个农庄A、B、C、D恰好座落在边长为2km的正方形的顶点上．为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成(如图中所示的实线)，要求四条支道的长度相等．

　　

(Ⅰ)若道路网总长不超过5.5km，试求中心道长的取值范围；

(Ⅱ)问中心道长为何值时，道路网总长度最短？

Answer 1

答案：
解析：

解：设中心道的长度为2xkm． (Ⅰ)依题意得 　　2x＋4≤5.5， 　　化简得－40x＋7≤0， 　　解得． 　　∴中心道长取值范围为[](单位：km)． (Ⅱ)设道路网的总长度为y km， 　　则y＝2x＋4 　　　　＝2x＋4 　　即 　　化简得① 　　∵ x∈，∴Δ＝≥0 　　即－4y－8≥0 　　∵y＞0，∴y≥2＋2． 　　将y的最小值2＋2代入方程①，方程①有等根， 　　此时x＝． 　　∴中心道长为(2－)km时，道路网总长最短．