Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，则|

b

-

c

|的最小值为

7 - 3

2

．

Answer 1

分析：由已知可求＜

a

，

b

＞=

π

3

，不妨设

OA

=

a

=（2，0），

c

=(x，y)，

OB

=

b

=（1，

3

），结合(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，可得x，y的方程：2-5x+2x²-

3

y+2y2=0是以（

5

4

，

3

4

）为圆心，以

3

2

为半径的圆，结合圆的性质可求

解答：解：|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

2

2×2

=

1

2

∴＜

a

，

b

＞=

π

3

由题意不妨设

OA

=

a

=（2，0），

c

=(x，y)
则

OB

=

b

=（1，

3

），
∵(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，
∴（2-x，-y）•（1-2x，

3

-2y）=0
∴（2-x）（1-2x）-y（

3

-2y）=0
即2-5x+2x²-

3

y+2y2=0是以（

5

4

，

3

4

）为圆心，以

3

2

为半径的圆
则|

b

-

c

|=

(1-x)2+( 3 -y)2

的最小值为

( 5 4 -1)2+( 3 - 3 4 )2

-

3

2

=

7 - 3

2

故答案为：

7 - 3

2

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中根据已知表示出|

b

-

c

|，将问题转化为求二次函数的最值，是解答本题的关键