Question

已知函数,，其中R ．
（1）讨论的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数, 当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）①当时，，在上单调递增；                    
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）
（3）

试题分析：（1）的定义域为，且，
①当时，，在上单调递增；                    
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增．                      
（2），的定义域为，                        
因为在其定义域内为增函数，所以，
 
而，当且仅当时取等号，所以                                               
（3）当时，，
由得或，当时，；当时，．
所以在上，                      
而在上的最大值为
有分
所以实数的取值范围是    
点评：解决的关键是能根据导数的符号分类讨论得到函数单调性，以及根据极值来得到最值，解决不等式的成立，属于中档题。