Question

(本小题满分12分)已知函数.（）
（1）若函数有三个零点，且，，求函数 的单调区间；
（2）若，，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.
（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.

Answer 1

（1）当时，的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。当时，的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是（4分）（2）导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.（3）.

试题分析：（1）因为，又，  
则  ………   （1分）
因为x₁，x₃是方程的两根，则
，，.即      …… （2分）
从而：，
所以. 
令   解得： … ………          （3分）
当时，的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。
当时，的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是（4分）
（2）因为，，所以，
即.
因为，所以，即.       （5分）
于是，，.
①当时，因为，
则在区间内至少有一个零点.        （6分）
②当时，因为，
则在区间（1，2）内至少有一零点.
故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.          （8分）
（3）设m，n是导函数的两个零点，则，.
所以.
由已知，，则，即.
所以，即或.               （10分）
又，，所以，即.
因为，所以. 
综上分析，的取值范围是.                          （12分）
点评：可导函数的极值点都是导数等于零的点，求出结果要带回去检验，求函数的单调区间都是转化为导数与０的大小关系进行确定，导数大于０，原函数递增，导函数小于０，则原函数递减，特别是函数含字母时，要注意字母对解不等式的影响，有时需要分类讨论