Question

已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点．

(Ⅰ)求证：直线平面；

(Ⅱ）求点到平面的距离．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取的中点为，连接，

推出，，且，

利用四边形为平行四边形，得到，

所以直线平面.

(Ⅱ）点到平面的距离为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点为，连接，

因为为的中点，为中点，

所以，，且，

所以四边形为平行四边形， 所以，

又因为,

所以直线平面.

(Ⅱ）由已知得，所以,

因为底面三角形为正三角形，为中点，

所以, 所以，

由（Ⅰ）知，所以，

因为，所以,,

设点到平面的距离为，由等体积法得 ，

所以，得，

即点到平面的距离为．

考点：正三棱柱的几何特征，平行关系，垂直关系，体积计算，距离计算。

点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。本题计算距离时，应用了“等体积法”，在几何体不十分规则时，经常用到。