Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， 是中点．

（I）求证：直线平面．

（II）求证：直线平面．

（III）在上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（Ⅱ）见解析（III）与重合．点的位置为所求.

【解析】试题分析：（I）结合条件中给出的线段间的长度关系，在上取点，使，证明四边形为平行四边形，可得,故可得结论；（II）结合图形分析可得只需证， ，便可得到平面；（III）建立空间直角坐标系，用向量法通过计算进行判断可得结果。

试题解析：

证明：（I）在上取点，使，连接， ，

因为， ，

所以，且，

因为， ，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面, 平面,

所以平面

（Ⅱ）因为是中点，底面是菱形， ，

所以，

因为，

所以，

所以．

又平面，

所以

又

所以直线平面

（III）由（Ⅱ）可知， ， ，相互垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

则， ， ，

假设存在点G满足条件，其坐标为

设平面的一个法向量为，

由，得 ，

令，则

同理可得平面的法向量，

由题意得

，

解得

所以点。

所以当点与点重合时，二面角的大小为．

因此点为所求的点。