Question

如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）求四面体的体积；

（Ⅱ）证明：∥平面；

（Ⅲ）证明：平面平面．

 

Answer 1

（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，

所以 △的面积为 ．

因为平面，              …

      所以四面体的体积为

                     

      ．          

（Ⅱ）证明：取中点，连结，．                        

由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，．

又因为∥，， 所以∥，．

所以四边形为平行四边形，所以∥．                 

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                     

（Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．

因为面为正方形，所以 ．

所以 平面．                                    

因为 平面，所以 ．       

因为 ，为中点，所以 ．

所以 平面．                                       

因为 ∥，所以平面．                       

因为 平面， 所以 平面平面.