Question

【题目】已知函数f(x)= -lnx-.

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求证：lnx≥-

（Ⅲ）判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(-1)x-y-+1=0；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导得切线斜率为f’(1)= -1，再利用直线的点斜式求解即可；

（Ⅱ）要证明lnx≥-,(x>0)”等价于“xlnx≥-”，设函数g(x)=xlnx，求导结合单调性得g()即可证得；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知lnx≥，所以f(x)≤- ()，求导结合单调性得k(x)≤k(1)=0恒成立，即可证得.

试题解析：

函数的定义域为(0,+∞)，

f’(x)=- -+

（Ⅰ）f’(1)= -1，又f(1)=-

曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为

y+=(-1)x-+1.

即(-1)x-y-+1=0.

（Ⅱ）“要证明lnx≥-,(x>0)”等价于“xlnx≥

设函数g(x)=xlnx.

令g’(x)=1+lnx=0，解得.

x	（0， ）		（）
g（x）	-	0	+
g（x）	递减		递增

因此，函数g(x)的最小值为g()=-，故xlnx≥.

即lnx≥.

（Ⅲ）曲线y=f(x)位于x轴下方.理由如下：

由（Ⅱ）可知lnx≥，所以f(x)≤-= ().

设k(x)= ，则k’(x)=

令k’(x)>0得0<x<1；令k’(x)<0得x>1.

所以k(x)在(0,1)上为增函数，(1，+∞)上为减函数.

所以当x>0时，k(x)≤k(1)=0恒成立,当且仅当x=1时，k(1)=0.

又因为f(1)=- <0，所以f(x)<0恒成立.

故曲线y=f(x)位于x轴下方.