Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；

（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时， 时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.

求导得.

设，则与同号.

所以，若，则对任意恒成立.

所以函数在上单调递减.

又，

所以当时，满足.即当时，满足.

所以函数在上单调递减.

（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.

由，又， 时， ，

取，则，

所以一定存在某个实数，使得.

故在上， ；在上， .

即在上， ；在上， .

所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；

②当时，令，得；令，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

故函数的单调情况如下表：

		0	＋
		极小值

要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，

解得又， ，

所以.

此时， ，

又， ；

综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.