Question

设AB是圆x²+y²=1的一条直径，以AB为直角边、B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC.当AB变动时，求C点的轨迹.

Answer 1

所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.

解析:

解法一:(参数法)取∠xOB=θ为参数，则B(cosθ,sinθ),

于是，(x－cosθ)²+(y－sinθ)²=4.

=－cotθ,消去θ得x²+y²=5.

故所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.

解法二:(相关点法)设C(x,y)、B(x₀,y₀),

当x₀、y₀≠0时，

则(x－x₀)²+(y－y₀)²=4.

·=－1.由x₀²+y₀²=1消去x₀、y₀得轨迹方程.显然当x₀=0或y₀=0时，方程也适合.

解法三:(几何法)连结CO，因为|OC|²=|OB|²+|AB|²=5为定值，故其轨迹为圆.

评析:求轨迹的方法很多，注意合理选取，参数法求轨迹方程是常用方法之一，常用到的参数有斜率、点的坐标、长度、夹角等.