题目内容
12．（Ⅰ）用综合法证明：a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$（a，b，c均为正实数）；（Ⅱ）已知：x∈R，a=x2-1，b=4x+5，求证：a，b中至少有一个不小于0．
分析 （Ⅰ）根据2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）=$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）2+（ $\sqrt{b}$-$\sqrt{c}$）2+（ $\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）2≥0，可得2（a+b+c）≥2（ $\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$），从而证得结论．
（Ⅱ）用反证法，假设 a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x2-1+4x+5=x2+4x+4=（x+2）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，命题得证．
解答 证明：（Ⅰ）由于2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）2+（ $\sqrt{b}$-$\sqrt{c}$）2+（$\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）2≥0，
∴2（a+b+c）≥2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
∴a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$．
（Ⅱ）证明：假设a，b都小于0，即a＜0，b＜0，则a+b＜0．
又a+b=x2-1+4x+5=x2+4x+4=（x+2）2≥0，
这与假设所得a+b＜0矛盾，故假设不成立．
∴a，b中至少有一个不小于0．
点评 本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、分析法证（执果索因）明不等式，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
2．已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0），且cosθ=$\frac{x}{4}$，则x的值为（ ）
| A． | $\sqrt{7}$ | B． | 5 | C． | -5 | D． | -$\sqrt{7}$ |
17．函数y=$\frac{1}{2}$-sin2x+$\sqrt{3}$sin xcosx的单调増区间为（ ）
| A． | [2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z） | B． | [2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z） | ||
| C． | [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z） | D． | [kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z） |
2．随着移动互联网时代的到来，手机的使用非常普遍，“低头族”随处可见．某校为了解家长和教师对学生带手机进校园的态度，随机调查了100位家长和教师，得到情况如下表：
（1）是否有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”，并说明理由；
（2）把以上频率当概率，随机抽取3位教师，记其中反对学生带手机进校园的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| 教师 | 家长 | |
| 反对 | 40 | 20 |
| 支持 | 20 | 20 |
（2）把以上频率当概率，随机抽取3位教师，记其中反对学生带手机进校园的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| P（K2≥k0） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |