题目内容
A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧
的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，（1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
（2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）根据题意设出总影响度y与厂址到城A的距离x的函数关系，利用城A的比例系数k表示出城B的比例系数，确定出函数的解析式；
（2）利用导数作为工具求解该函数的最值，注意方程思想的运用．根据求解的导函数的零点讨论出函数的单调性，进行作答．
解答：解：（1）根据题意∠ACB=90°，设AC=x，则BC=
，因此x∈（0，30）
且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为k，对城B的影响度为k′，
因此，总影响度
，
又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，可得k′=4k，
所以
，x∈（0，30）
（2） 由于
=
，
令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=
．
当x∈（0，
）时y′＜0，y在x∈（0，
）上单调递减，
当x∈（
，30）时y′＞0，y在x∈（
，30）上单调递增，
因此该函数在x=
时取到最小值．
答：存在一点到城A的距离为
km，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小．
点评：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用模型思想、待定系数法求解函数解析式的能力和运用导数法研究函数的单调性、最值等问题．
（2）利用导数作为工具求解该函数的最值，注意方程思想的运用．根据求解的导函数的零点讨论出函数的单调性，进行作答．
解答：解：（1）根据题意∠ACB=90°，设AC=x，则BC=
，因此x∈（0，30）且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为k，对城B的影响度为k′，
因此，总影响度
，又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，可得k′=4k，
所以
，x∈（0，30）（2） 由于
=，令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=
．当x∈（0，
）时y′＜0，y在x∈（0，）上单调递减，当x∈（
，30）时y′＞0，y在x∈（，30）上单调递增，因此该函数在x=
时取到最小值．答：存在一点到城A的距离为
km，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小．点评：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用模型思想、待定系数法求解函数解析式的能力和运用导数法研究函数的单调性、最值等问题．
练习册系列答案
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上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧
的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，