Question

A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A城供电费用y₁=0.25×20x²，B城供电费用y₂=0.25×10（100-x）²，总费用y=y₁+y₂，整理即可；因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，由x≥10，且100-x≥10，得x的范围；
（Ⅱ）因为函数y=7.5x²-500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-

b

2a

时，函数y取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）A城供电费用为y₁=0.25×20x²，B城供电费用y₂=0.25×10（100-x）²； 所以总费用为：y=y₁+y₂=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90）；
∵核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90； 所以x的取值范围是{x|10≤x≤90}．
（Ⅱ）因为函数y=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90），当x=-

-500

2×7.5

=

100

3

时，此函数取得最小值；
所以，核电站建在距A城

100

3

km处，能使A、B两城月供电总费用最小．

点评：本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑是否取在对称轴x=-

b

2a

处，属于中档题．