Question

已知f(x)=3sinxcosx-

3

cos2x+2sin2(x-

π

12

)+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期和它的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=

2

，f(A)=1，求角C．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的关系式可化简f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小正周期和它的单调递增区间；
（2）由f（A）=2sin（2A-

π

3

）+1=1可求得A，利用正弦定理可求得B，继而可得到C．

解答：解：（1）∵f（x）=3sinxcosx-

3

cos²x+2sin2(x-

π

12

)+

3

2

=

3

2

sin2x-

3

×

1+cos2x

2

+1-cos（2x-

π

6

）+

3

2

=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x-cos（2x-

π

6

）+1
=

3

sin（2x-

π

6

）-cos（2x-

π

6

）+1
=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）得：
kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）
（2）在△ABC中，∵f（A）=1，
∴2sin（2A-

π

3

）+1=1，
∴sin（2A-

π

3

）=0，A为△ABC中的内角，
∴2A-

π

3

=0，故A=

π

6

．
又在△ABC中a=1，b=

2

，由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

bsinA

a

=

2 × 1 2

1

=

2

2

，
∴B=

π

4

或B=

3π

4

；
∴当B=

π

4

时，C=π-

π

6

-

π

4

=

7π

12

；
当B=

3π

4

时，C=π-

π

6

-

3π

4

=

π

12

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理解三角形，考查正弦函数的周期性与单调性，属于难题．