Question

已知f(x)=

3

sinx+cosx，x∈[

π

3

，

2π

3

]，则f（x）的最大值为

2

．

Answer 1

分析：将函数解析式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，进而得出f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值．

解答：解：f（x）=

3

sinx+cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=2sin（x+

π

6

），
∵x∈[

π

3

，

2π

3

]，∴x+

π

6

∈[

π

2

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1，1≤2sin（x+

π

6

）≤2，即1≤f（x）≤2，
则f（x）的最大值为2．
故答案为：2

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．