Question

17．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（x-1），且当x∈（-1，1]时，f（x）=|x|；y=g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log₃x，则有方程f（x）=g（x）的根的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把方程f（x）=g（x）的根的个数转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．

解答 解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，
根据函数的周期性画出图形，如图
再在同一坐标系中画出函数y=log₃x，的简图，
将方程f（x）=g（x）的根的个数转化为函数图象的交点问题，
由图象可得，交点是2个．
故选：B．

点评 本题考查了函数与方程的综合运用、利用函数零点的存在性求变量的取值范围．是道中档题．