Question

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（2）若为等比数列，且，求的值；
（3）若为等差数列，求出所有可能的数列.

Answer 1

（1），，；（2）；（3）得

试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（2）确定，，，，，，分组求和，即可求的值；（3）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列．
（1） ，，.                                       3分
（2）因为为等比数列，，，
所以，                                                  4分
因为使得成立的的最大值为，
所以，，，，
，，                        6分
所以.                                   8分
（3）由题意，得，
结合条件，得.                                       9分
又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.                                    10分
设，则.
假设，即，
则当时，；当时，.
所以，.
因为为等差数列，
所以公差，
所以，其中.
这与矛盾，
所以.                                                     11分
又因为，
所以，
由为等差数列，得，其中.                         12分
因为使得成立的的最大值为，
所以，
由，得.                                             13分