Question

如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k, 对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由.
（2）若数列为“类等比数列”，且(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．
（3）若数列为“类等比数列”，且，(a，b为常数)，求数列的前n项之和；数列的前n项之和记为，求.

Answer 1

（1）是，（2），（3）

试题分析：（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数），由得得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手，再从充分性上证明：因为所以所以即得所以
而（3）由（2）易得，均为公比为的等比数列，，，
[解] （1）因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数）                                 1分
由得     2分
得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列”  4分
（2）存在常数使 （只给出结论给2分）
（或从必要条件入手）
证明如下：因为所以
所以即    6分
由于此等式两边同除以
得                              8分
所以
即当都有 
因为所以
所以
所以对任意都有此时    10分
（3） 11分

均为公比为的等比数列                      12分
                    14分
               16分
18分