Question

1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x，都有f（x-2）=-f（x），且当x∈[-2，0]，y∈R时，f（x+y）+f（x）=2x³-4（x+y）²，则y=f（x）在x=5处的切线方程为9x-y-26=0．

Answer 1

分析 将x换为x+2，可得f（x+4）=f（x），即有f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，即有f（5）=f（1）=-f（-1）=19，再由两边对x求导，可得f′（5）=f′（1）=-f′（-1）=9，再由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．

解答 解：f（x-2）=-f（x），可得
f（x）=-f（x+2），即有f（x+4）=f（x），
令y=4，可得f（x+4）+f（x）=2x³-4（x+4）²，
即有f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，
即有f（5）=f（1）=-f（-1）=-（-1-2×9）=19，
由f（x+4）=f（x），求导可得f′（x+4）=f′（x），
f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，可得
f′（x）=3x²-4（x+4），
即有f′（5）=f′（1），
f（x-2）=-f（x），两边求导，可得
f′（x-2）=-f′（x），
则f′（1）=-f′（-1）=-（3-4×3）=9，
即有y=f（x）在x=5处的切线斜率为9，
则y=f（x）在x=5处的切线方程为y-19=9（x-5），即为9x-y-26=0．
故答案为：9x-y-26=0．

点评 本题考查函数的周期性及运用，考查导数的运用：求切线的方程，考查运算能力，属于中档题．