Question

已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：排除法：取a=-，由f（x+a）＜f（x），得（x-）|x-|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜-1，-1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
解答：解：取a=-时，f（x）=-x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x-）|x-|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得-＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=-时，A=（-，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＞x|x|，
（1）x＜-1时，解得x＞0，矛盾；
（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜-1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．